The Dashavatara Stotram of 13 verses is on the ten popular incarnations of the Lord -
Matsya (fish), Kurma (tortoise), Varaha (boar), Narasimha (man+lion), Vamana (short man),
Parashurama (the Rama with the axe) Rama, Balarama, Krishna and Kalki.
Shri Venkatesha (Vedanta Deshika) starts the first verse indicating that the Lord and the
Goddess both take incarnations together. The next 10 verses recounts each of the incarnations
and one more verse that references all of them together. The final verse wishes the reciter
all the benefits.
The exploration here is to get at the meanings of each of the words, investigate roots and related words.

[1] "Shri Desika Stotra Mala" by Shri Ramadesikachariar Swamy, 2003 Edition, Lifco
[2] "The Practical Sanskrit-English Dictionary" by Vaman Shivram Apte, Revised and Enlarged Edition, Motilal Banarsidass Pub
[3] Source: Dashavatara Stotram @ prapatti.com
[4] "A Sanskrit English Dictionary", M. Monier-Williams, Motilal Banarsidass Publishers
Thanks to Sanskrit Unicode converter.

[Invocatory Tanian on Swami Desikan by Kumara Varadacharya]

    shrImAn ve~nkaTanAthAryaH   kavi-tArkika-kesarI
    vedAntAcArya-varyo me       saMnidhattAm sadA hR^idi

    
    
[01.txt]

    देवो नः शुभम् आतनोतु दशधा निर्वर्तयन् भूमिकां

        रङ्गे धामनि लब्ध-निर्भररसैरध्यक्षितो भावुकैः

    यद्भावेषु पृथग्विधेष्वनुगुणान् भावान् स्वयं बिभ्रती

        यद्धर्मैरिह धरमिणी विहरते नानाकृतिरिनायिका
		
    devo naH shubham Atanotu dashadhA nirvartayan bhUmikAM
        ra~nge dhAmani labdha-nirbhararasairadhyakShito bhAvukaiH
    yadbhAveShu pRthagvidheShvanuguNAn bhAvAn svayaM bibhratI
        yaddharmairiha dharamiNI viharate nAnAkRtirinAyikA
           
[02.txt]

    निर्मग्न-श्रुति-जाल-मार्गण-दशा-दत्त-क्षणैर्वीक्षणैः

        अन्तस्तन्वदिवारविन्द-गहनान्यौदन्वतीनाम् अपां

    निष्प्रत्यूह-तरङ्ग-रिङ्गण-मिथःप्रत्यूढ-पाथश्छटा-

        -डोलारोह-सदोहलं भगवतो मात्स्यं वपुः पातु नः

    nirmagna-shruti-jAla-mArgaNa-dashA-datta-kShaNairvIkShaNaiH
        antastanvadivAravinda-gahanAnyaudanvatInAm apAM
    niShpratyUha-tara~Nga-ri~NgaNa-mithaHpratyUDha-pAthashchaTA-
        -DolAroha-sadohaLaM bhagavato mAtsyaM vapuH pAtu naH
        
[03.txt]

    अव्यासुर्भुवन-त्रयीम् अनिभृतं कण्डूय-नैरद्रिणा

        निद्राणस्य परस्य कूर्म-वपुषो निःश्वास-वातोर्मयः

    यद्विक्षेपण-संस्कृतो दधिपयः प्रेङ्खोल-पर्यङ्किका

        नित्यारोहण-निर्वृतो विहरते देवः सहैव श्रिया

    avyAsurbhuvana-trayIm anibhRtaM kaNDUya-nairadriNA
        nidrANasya parasya kUrma-vapuSho niHshvAsa-vAtormayaH
    yadvikShepaNa-saMskRto dadhipayaH pre~NkhoLa-parya~NkikA
        nityArohaNa-nirvRto viharate devaH sahaiva shriyA

[04.txt]

    गोपायेदनिशं जगन्ति कुहना-पोत्री पवित्री-कृत-

        -ब्रह्माण्डः प्रलयोर्मि-घोष-गुरुभिर्घोणा-रवैर्घुर्घुरैः

    यद्दंष्ट्राङ्कुर-कोटि-गाढ-घटना निष्कम्प-नित्य-स्थितिः

        ब्रह्म-स्तम्बम् असौदसौ भगवती मुस्तेव विश्वंभरा

    gopAyedanishaM jaganti kuhanA-potrI pavitrI-kRta-
        -brahmANDaH praLayormi-ghoSha-gurubhirghoNA-ravairghurghuraiH
    yaddaMShTrA~Nkura-koTi-gADha-ghaTanA niShkampa-nitya-sthitiH
        brahma-stambam asaudasau bhagavatI musteva vishvaMbharA
             
[05.txt]

    प्रत्यादिष्ट-पुरातन-प्रहरण-ग्रामः क्षणं पाणिजैः

        अव्यात् त्रीणि-जगन्त्यकुण्ठ-महिमा-वैकुण्ठ-कण्ठीरवः

    यत्प्रादुर्भवनादवन्ध्य-जठरा यादृच्छिकाद्वेधसां

        या काचित् सहसा महासुर-गृह-स्थूणा पितामह्यभूत्

    pratyAdiShTa-purAtana-praharaNa-grAmaH kShaNaM pANijaiH
        avyAt trINi-jagantyakuNTha-mahimA-vaikuNTha-kaNThIravaH
    yatprAdurbhavanAdavandhya-jaTharA yAdRcchikAdvedhasAM
        yA kAcit sahasA mahAsura-gRha-sthUNA pitAmahyabhUt
    
[06.txt]

    व्रीडा-विद्ध-वदान्य-दानव-यशोनासीर-धाटी-भटः

        त्रैयक्षं मकुटं पुनन्नवतु नस्त्रैविक्रमो विक्रमः

    यत्प्रस्ताव-समुच्छ्रित-ध्वज-पटी-वृत्तान्त-सिद्धान्तिभिः

        स्रोतोभिः सुर-सिन्धुरष्टसु दिशा-सौधेषु दोधूयते

    vrIDA-viddha-vadAnya-dAnava-yashonAsIra-dhATI-bhaTaH
        traiyakShaM makuTaM punannavatu nastraivikramo vikramaH
    yatprastAva-samucchrita-dhvaja-paTI-vRttAnta-siddhAntibhiH
        srotobhiH sura-sindhuraShTasu dishA-saudheShu dodhUyate
     
[07.txt]

    क्रोधाग्निं जमदग्नि-पीडन-भवं सन्तर्पयिष्यन् क्रमात्

        अक्षत्त्राम् इह सन्ततक्ष य इमां त्रिःसप्त-कृत्वः क्षितिम्

    दत्त्वा कर्मणि दक्षिणां क्वचन-ताम् आस्कन्द्य सिन्धुं वसन्

        अब्रह्मण्यम् अपाकरोतु भगवान् आब्रह्मकीटं मुनिः

    krodhAgniM jamadagni-pIDana-bhavaM santarpayiShyan kramAt
        akShattrAm iha santatakSha ya imAM triHsapta-kRtvaH kShitim
    dattvA karmaNi dakShiNAM kvacana-tAm Askandya sindhuM vasan
        abrahmaNyam apAkarotu bhagavAn AbrahmakITaM muniH
                  
[08.txt]

    पारावार-पयोविशोषण-कला-पारीण-कालानल-

        -ज्वाला-जाल-विहार-हारि-विशिख-व्यापार-घोर-क्रमः

    सर्वावस्थ-सकृत्-प्रपन्न-जनता-संरक्षणैक-व्रती

        धर्मो विग्रहवान् अधर्म-विरतिं धन्वी स तन्वीत नः

    pArAvAra-payovishoShaNa-kalA-pArINa-kAlAnala-
        -jvAlA-jAla-vihAra-hAri-vishikha-vyApAra-ghora-kramaH
    sarvAvastha-sakRt-prapanna-janatA-saMrakShaNaika-vratI
        dharmo vigrahavAn adharma-viratiM dhanvI sa tanvIta naH
        
[09.txt]

    फक्कत्-कौरव-पट्टण-प्रभृतयः प्रास्त-प्रलम्बादयः

        तालाङ्कस्य तथाविधा विहृतयस्तन्वन्तु भद्राणि नः

    क्षीरं शर्करयेव याभिरपृथग्भूताः प्रभूतैर्गुणैः

        आकौमारकं अस्वदन्त जगते कृष्णस्य ताः केलयः

    phakkat-kaurava-paTTaNa-prabhRtayaH prAsta-pralambAdayaH
        tAlA~Nkasya tathAvidhA vihRtayastanvantu bhadrANi naH
    kShIraM sharkarayeva yAbhirapRthagbhUtAH prabhUtairguNaiH
        AkaumArakaM asvadanta jagate kRShNasya tAH kelayaH
         
[10.txt]

    नाथायैव नमःपदं भवतु नश्चित्रैश्चरित्र-क्रमैः

        भूयोभिर्भुवनान्यमूनि कुहना-गोपाय गोपायते

    कालिन्दी-रसिकाय कालिय-फणि-स्फार-स्फटा-वाटिका-

        -रङ्गोत्सङ्ग-विशङ्क-चङ्क्रम-धुरा-पर्याय-चर्या यते

    nAthAyaiva namaHpadaM bhavatu nashcitraishcaritra-kramaiH
        bhUyobhirbhuvanAnyamUni kuhanA-gopAya gopAyate
    kAlindI-rasikAya kAliya-phaNi-sphAra-sphaTA-vATikA-
        -ra~Ngotsa~Nga-visha~Nka-ca~Nkrama-dhurA-paryAya-caryA yate
                  
[11.txt]

    भाविन्या दशया भवन्निह भवध्वंसाय नः कल्पतां

        कल्की विष्णुयशस्सुतः कलिकथा-कालुष्य-कूलङ्कषः

    निःशेष-क्षत-कण्टके क्षिति-तले धाराजलौघैर्ध्रुवं

        धर्मं कार्तयुगं प्ररोहयति यन्निस्त्रिंश-धाराधरः

    bhAvinyA dashayA bhavanniha bhavadhvaMsAya naH kalpatAM
        kalkI viShNuyashassutaH kalikathA-kAluShya-kUla~NkaShaH
    niHsheSha-kShata-kaNTake kShiti-tale dhArAjalaughairdhruvaM
        dharmaM kArtayugaM prarohayati yannistriMsha-dhArAdharaH
        
[12.txt]

    इच्छा-मीन विहार-कच्छप महा-पोत्रिन् यदृच्छा-हरे

        रक्षा-वामन रोष-राम करुणा-काकुत्स्थ हेला-हलिन्

    क्रीडा-वल्लव कल्क-वाहन-दशा-कल्किन्निति प्रत्यहं

        जल्पन्तः पुरुषाः पुनन्ति भुवनं पुण्यौघ-पण्यापणाः

    icchA-mIna vihAra-kacchapa mahA-potrin yadRcchA-hare
        rakShA-vAmana roSha-rAma karuNA-kAkutstha helA-halin
    krIDA-vallava kalka-vAhana-dashA-kalkinniti pratyahaM
        jalpantaH puruShAH punanti bhuvanaM puNyaugha-paNyApaNAH
        
[13.txt]

    विद्योदन्वति वेङ्कटेश्वर-कवौ जातं जगन्मङ्गलं

        देवेशस्य दशावतार-विषयं स्तोत्रं विवक्षेत यः

    वक्त्रे तस्य सरस्वती बहुमुखी भक्तिः परा मानसे

        शुद्धिः का$पि तनौ दिशासु दशसु ख्यातिः शुभा जृम्भते

    vidyodanvati ve~NkaTeshvara-kavau jAtaM jaganma~NgaLaM
        deveshasya dashAvatAra-viShayaM stotraM vivakSheta yaH
    vaktre tasya sarasvatI bahumukhI bhaktiH parA mAnase
        shuddhiH kA$pi tanau dishAsu dashasu khyAtiH shubhA jRmbhate
        
[Valedictory Tanian on Swami Desikan by Kumara Varadacharya]

    kavi-tArkika-simhAya        kalyANa-guNa-shAline
    shrImate ve~nkaTeshAya      vedAnta-gurave namaH